Freistetters Formelwelt: Die rätselhafte Kurve im Roman »Jurassic Park«

Im Roman »Jurassic Park« taucht immer wieder eine seltsame Kurve auf, die sich von Kapitel zu Kapitel weiter entfaltet. Ihre Mathematik hängt mit dem Plot der Geschichte zusammen.

Beim Aufräumen meiner Bücherregale ist mir kürzlich der Roman »Jurassic Park« von Michael Crichton aus dem Jahr 1990 in die Hände gefallen. An die berühmte Verfilmung von Steven Spielberg kann ich mich noch gut erinnern, an den Inhalt des Buchs dafür weniger. Also habe ich ein wenig darin geblättert und war überrascht, darin immer wieder Seiten mit sehr mathematisch aussehenden Grafiken zu finden.

Eine kurze Recherche hat gezeigt, dass es sich dabei um eine sogenannte Drachenkurve handelt: ein fraktales Objekt, das mathematisch durch ein iteriertes Funktionensystem erzeugt wird.

f1(z)=(1+i)z2f2(z)=1−(1−i)z2

Die beiden Funktionen werden auf eine komplexe Zahl z = x + iy angewandt. Wenn man mit der Strecke von 0 nach 1 beginnt, also einer Linie in der Ebene von (x,y) = (0,0) nach (1,0), dann sorgt die Anwendung von f1 für eine Verkleinerung (um den Faktor √2/2) und eine Drehung um 45 Grad. Die Funktion f2 verkleinert um denselben Faktor, dreht die Linie aber um –45 Grad. Anders gesagt: Im ersten Fall entsteht eine Linie, die von (0,0) nach (½,½) führt (was dem Punkt z = (1 + i) / 2 entspricht), und die zweite Funktion erzeugt eine Linie von (½,½) nach (1,0). Die ursprüngliche Strecke wird durch die beiden Funktionen also durch eine Linie mit einem rechtwinkligen Knick ersetzt.

Auf diese neuen Linien kann man f1 und f2 erneut anwenden und das dann immer wieder wiederholen. Jede neue Version der Kurve besteht aus zwei kleineren Versionen der vorherigen Version, die mathematisch passend gedreht und zusammengesetzt werden. Im Grenzfall unendlich vieler Iterationen erhält man eine Drachenkurve.

In der Praxis lässt sich das natürlich nicht umsetzen, doch auch die einzelnen Zwischenschritte sehen interessant aus. Im Roman von Michael Crichton waren zwischen den Kapiteln Abbildungen der Drachenkurven in verschiedenen Stadien der Iteration dargestellt – vermutlich, um die chaotische Komplexität zu symbolisieren, die sich im Lauf des Buchs entwickelt und am Ende das ganze Projekt zu Fall bringt.

Die legendärsten mathematischen Kniffe, die übelsten Stolpersteine der Physikgeschichte und allerhand Formeln, denen kaum einer ansieht, welche Bedeutung in ihnen schlummert: Das sind die Bewohner von Freistetters Formelwelt.
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Vom Papierflieger zu Drachen

Entdeckt wurde die Drachenkurve aber nicht von Michael Crichton, sondern von zwei NASA-Mitarbeitern im Jahr 1966. Sie haben damals mit gefaltetem Papier herumgespielt und eine interessante Beobachtung gemacht: Sie nahmen einen Papierstreifen und falteten ihn in der Mitte. Das wiederholten sie immer weiter, bis es nicht mehr ging. Wenn man den Streifen danach wieder entfaltet, und zwar nur so weit, dass die Innenwinkel der Falze jeweils 90 Grad betragen, ergibt sich eine Drachenkurve.

Man kann spekulieren, wie die beiden NASA-Mitarbeiter William Harter und John Heighway als Erstes auf diese Idee gekommen sind. Allerdings haben sie definitiv ein faszinierendes mathematisches Objekt entdeckt. Die Drachenkurve ist selbstähnlich und füllt den Raum: Das bedeutet, dass sie im Grenzfall unendlich vieler Iterationen jeden Punkt einer Fläche durchläuft. Zudem hat sie eine fraktale Dimension von 2, obwohl es sich um eine eindimensionale Kurve handelt. Aber am Ende ist sie so sehr in sich selbst verschachtelt, dass es sich eigentlich um eine Fläche handelt.

Über den Namen Drachenkurve lässt sich streiten – man braucht schon viel Fantasie, um in der Form etwas zu sehen, das dem Feuer speienden Fabeltier ähnlich sieht. So wie den fiktiven Namensgeber findet man auch die Drachenkurve selbst in der realen Welt sehr selten. Sieht man von diversen schönen computergenerierten Bildern ab, taucht sie höchstens noch als Konstruktionsprinzip für Mikrostreifenantennen auf, wo ihre fraktale Form die Abstimmung auf bestimmte Resonanzfrequenzen möglich macht. Doch zumindest ist die Beschäftigung mit der fraktalen Drachenkurve deutlich ungefährlicher als mit den Dinosauriern aus »Jurassic Park«.