Rätsel der Woche: Zwei Seitenlängen gesucht

Published So., Aug. 16, 2026

Zwei Unbekannte können in der Mathematik eine unlösbare Herausforderung darstellen. Aber ich möchte Sie nicht entmutigen: Bei der folgenden geometrischen Knobelei gibt es einen Lösungsweg. Es geht um ein rechtwinkliges Dreieck. Wir kennen die Länge einer Kathete – diese beträgt 18 (siehe Abbildung oben).

Das Kreuz mit dem Quadrat

Holger Dambeck

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Wir wissen außerdem, dass auch die anderen beiden Seiten des Dreiecks eine ganzzahlige Länge haben.

Finden Sie alle Lösungen!

(Alle Seitenlängen sollen größer als Null sein!)

Es existieren zwei Lösungen: 30 und 24 sowie 80 und 82.

Wir nutzen den Satz des Pythagoras und eine binomische Formel. Mit a bezeichnen wir gesuchte Länge der zweiten Kathete des Dreiecks und mit c die Länge der Hypotenuse. Dann gilt:

c2 = 182 + a2
c2 – a2 = 182
(c – a)*(c + a) = 182
(c – a)*(c + a) = 324

Weil a und c ganzzahlig sind, sind auch (c – a) und (c + a) ganze Zahlen. Ihr Produkt ist 324. Deshalb müssen (c – a) und (c + a) aus den Primfaktoren von 324 gebildet werden.

Die Primfaktorzerlegung von 324 lautet:

324 = 22 * 34

Die Summe der beiden Faktoren (c – a) und (c + a) ist 2c, muss also eine gerade Zahl sein. Das ist nur möglich, wenn entweder (c – a) und (c + a) beide ungerade oder beide gerade sind.

Unter den Primfaktoren von 324 befinden sind zwei Zweien. Das bedeutet, dass immer mindestens einer der beiden Faktoren (c – a) und (c + a) gerade ist. Woraus folgt, dass beide gerade sein müssen – siehe vorheriger Absatz.

Da das Produkt der beiden Faktoren genau zwei Zweien enthält und beide Faktoren gerade sein müssen, erhält jeder Faktor genau eine Zwei. In (c – a) und (c + a) muss daher jeweils der Primfaktor 2 stecken.

Nun müssen wir nur noch alle Varianten anschauen, wie die vier Dreien über (c – a) und (c + a) verteilt werden können. Weil (c – a) nicht größer ist als (c + a), gibt es nur folgende drei Möglichkeiten:

Die dritte Variante entfällt, weil dann a Null sein muss.

Bei der ersten Kombination erhalten wir c = 82 und a = 80. Die zweite Variante führt zur Lösung c = 30 und a = 24.

Die Idee zu diesem Rätsel stammt vom YouTube-Kanal »Herr Mathe« .

Kommen drei Logiker in eine Bar...: Die schönsten Mathe-Rätsel (Aus der Welt der Mathematik, Band 3)

Dambeck, Holger

Verlag: KiWi-Taschenbuch

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